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File:01-100-Eck-Quadratrix.svg

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Deutsch: 100-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel
English: Hectogon, exact construction using the quadratrix of Hippias as an additional aid
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Author Petrus3743
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100-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel, Animation
Hectogon, exact construction using the quadratrix of Hippias as an additional aid, animation
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Konstruktion

Das regelmäßige 100-Eck ist unter alleiniger Verwendung der klassischen Konstruktionsmittel Zirkel und Lineal nicht konstruierbar. Ein zusätzliches Hilfsmittel zur Dreiteilung beliebiger Winkel reicht ebenfalls nicht aus. Nimmt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel, das die Teilung des 90-Grad-Winkels in gleich große Winkel erlaubt, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine exakte Lösung möglich. Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, sind aber in der einschlägigen Literatur nicht erwähnt.

Vorüberlegungen

  • Um von einem regelmäßigen 100-Eck den Zentriwinkel mithilfe der Quadratrix des Hippias zu finden, ist zuerst eine sogenannte Hilfsstrecke zu konstruieren, deren Gesamtlänge gleich langer Teile entspricht, aber die Abschnitte aus den Radien und (Summe ) zusammengesetzt sind.
  • Der Zentriwinkel des 100-Ecks ergibt sich aus aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab bis in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Hundertstel der Strecke kann nur ein Hundertstel des Winkels erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels aus dem Umkreis mit seinen das Vierfache eines Hundertstel, d. h. der Teilungspunkt der Strecke zur Konstruktion des Zentriwinkels genutzt.
  • Es ist nicht erforderlich die Strecke in einzelne, gleich lange Teile zu unterteilen, denn man benötigt davon nur die Länge von Teilen. Des Weiteren ist es bei einer sehr hohe Anzahl der Teilungen (sehr kleine Zirkelöffnung für z. B. Teil) vorteilhaft, den Durchmesser des Umkreises als Summe von gleich langen Teilen festzulegen. Aufgrund dessen wird im Folgenden die sogenannte Hilfsstrecke nur aus Radien – Vielfaches eines Hundertstel – zusammengesetzt.

Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Regelmäßiges 100-Eck mit vorgegebenem Umkreis als exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Nach dem Zeichen des Kreises um dessen Mittelpunkt und des Quadrates , z. B. mit der Seitenlänge , erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung :[1][2]

mit

Es geht weiter mit dem Einzeichnen des Durchmessers sowie einer Geraden durch den Winkelscheitel mit beliebiger Winkelweite (vorteilhaft ca. 15°– 30°) zum Durchmesser. Nun nimmt man einen geschätzten Radius in den Zirkel der mind. 50-mal auf der Geraden ab dem Punkt Platz hat und bestimmt damit um die Schnittpunkte und

Es folgt die Festlegung der sogenannten Hilfsstrecke mit den Radien (z. B. um Schnittpunkt und jeweils um den zuvor erzeugten Schnittpunkt. Die damit erzeugten Schnittpunkte sind und Nach dem Verbinden des Punktes mit wird die Hilfsstrecke in halbiert und Punkt mit verbunden. Die Strecke (entspricht gleich langen Teilen der Hilfsstrecke ) ab abgetragen ergibt den Schnittpunkt Eine sich daran anschließende Parallele zu ab Punkt bringt, da sich die Streckenteilung auf dem Durchmesser bezieht, den Teilungspunkt auf der Strecke Nach dem Einzeichnen einer Parallelen zu ab den Teilungspunkt bis zur Kurve der Quadratrix des Hippias, ergibt sich der Schnittpunkt . Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel durch bis zum Umkreis. Somit ergibt sich der Zentriwinkel und auf dem Umkreis neben dem ersten Eckpunkt der zweite Die Länge der Strecke ist die exakte Seitenlänge des regelmäßigen 100-Ecks.

Nach dem Abtragen der noch fehlenden Seitenlängen auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte, ist das 100-Eck fertiggestellt.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Verlag Vieweg+Teubner 2003, S. 45–48 Die Quadratur des Kreises (Auszug Google), abgerufen am 23. März 2018
  2. Horst Hischer: Mathematik in der Schule 32 (1994) 5, Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme, ab Seite 279, abgerufen am 23. März 2018

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